Transformations de produits en sommes

Propositions

Pour tous  $a$  et $b$  réels,

• $\cos (a)\cos (b)=\frac{1}{2}(\cos (a+b)+\cos (a-b))$
  
• $\sin (a)\sin (b)=\frac{1}{2}(\cos (a-b)-\cos (a+b))$
  
• $\sin (a)\cos (b)=\frac{1}{2}(\sin (a+b)+\sin (a-b))$

Démonstration

Soit $a$  et $b$  des réels, on a d'abord :

$\begin{array}{r}\cos (a+b)=\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)\\ \cos (a-b)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)\end{array}$

donc ,  en ajoutant ces égalités, on obtient :
$\begin{array}{r}\cos (a+b)+\cos (a-b)=2\cos (a)\cos (b)\end{array}$  
donc $\cos (a)\cos (b)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos (a+b)-\cos (a-b))$

en soustrayant ces égalités, on obtient :
$\begin{array}{r}\cos (a+b)-\cos (a-b)=-2\sin (a)\sin (b)\end{array}$ ,
donc  $\sin (a)\sin (b)=-\frac{1}{2}(\cos (a+b)-\cos (a-b))$   ,
donc $\sin (a)\sin (b)=\frac{1}{2}(\cos (a-b)-\cos (a+b)).$

On a ensuite :
$\begin{array}{r}\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)\end{array}$
et  $\sin (a-b)=\sin (a)\cos (b)-\cos (a)\sin (b)$

donc ,  en ajoutant ces égalités, on obtient :
$\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin (a)\cos (b)$ ,
donc $\sin (a)\cos (b)=\frac{1}{2}(\sin (a+b)+\sin (a-b)).$