Transformations de produits en sommes

Propositions

Pour tous  \(a\)  et \(b\)  réels,

• \(\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left( \cos(a+b)+\cos(a-b)\right)\)
  
• \(\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left(\cos(a-b)-\cos(a+b)\right)\)
  
• \(\sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left( \sin(a+b)+\sin(a-b)\right)\)

Démonstration

Soit \(a\)  et \(b\)  des réels, on a d'abord :

\(\begin{align*}\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\\ \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\end{align*}\)

donc ,  en ajoutant ces égalités, on obtient :
\(\begin{align*}\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos(a)\cos(b)\end{align*}\)  
donc \(\cos(a)\cos(b)=\dfrac{1}{2}\left(\cos(a+b)-\cos(a-b)\right)\)

en soustrayant ces égalités, on obtient :
\(\begin{align*}\cos(a+b)-\cos(a-b)=-2\sin(a)\sin(b)\end{align*}\) ,
donc  \(\sin(a)\sin(b) =-\frac{1}{2}\left(\cos(a+b)-\cos(a-b)\right)\)   ,
donc \(\sin(a)\sin(b) =\frac{1}{2}\left(\cos(a-b)-\cos(a+b)\right).\)

On a ensuite :
\(\begin{align*}\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\end{align*}\)
et  \(\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)\)

donc ,  en ajoutant ces égalités, on obtient :
\(\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin(a)\cos(b)\) ,
donc \(\sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left(\sin(a+b)+\sin(a-b)\right).\)