Transformations de produits en sommes

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Propositions

Pour tous  a  et b  réels,

  • cos(a)cos(b)=12(cos(a+b)+cos(ab))
  • sin(a)sin(b)=12(cos(ab)cos(a+b))
  • sin(a)cos(b)=12(sin(a+b)+sin(ab))

Démonstration

Soit a  et b  des réels, on a d'abord :

cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

donc en ajoutant ces égalités, on obtient :
cos(a+b)+cos(ab)=2cos(a)cos(b)  
donc cos(a)cos(b)=12(cos(a+b)cos(ab))

en soustrayant ces égalités, on obtient :
cos(a+b)cos(ab)=2sin(a)sin(b) ,
donc  sin(a)sin(b)=12(cos(a+b)cos(ab))   ,
donc sin(a)sin(b)=12(cos(ab)cos(a+b)).

On a ensuite :
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
et  sin(ab)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)

donc ,  en ajoutant ces égalités, on obtient :
sin(a+b)+sin(ab)=2sin(a)cos(b) ,
donc sin(a)cos(b)=12(sin(a+b)+sin(ab)).

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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